AD DH 1
 
 
    
   
1 5
( )
( )
)
+
>
2
(
)
2 2
Khóa CHINH PHC ĐIM 10 MÔN TOÁN ĐẶNG VIT HÙNG NGUYN TH DUY VŨ VĂN BC
CHINH PHỤC MỤC TIÊU 26 ĐIỂM ĐẠI HỌC
Thy Đặng Vit Hùng MOON.VN
Công thc 26 đim tr lên: Toán 8.5; 8,5; Hóa 9,0 tr lên nhé.
VIDEO BÀI GING LI GII CHI TIT CÁC BÀI TP ch ti website MOON.VN
Câu 1: Trong mt phng vi hta độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I. Gi M đim đối xng ca D qua
C. Gi H, K ln lượt là chân đường cao htD, C lên AM. GisK (1;1), đỉnh B thuc đường thng
5x+3y
10=
0. Và phương trình đường thng HI :3x+ y+1= 0. Tìm ta độ đỉnh B.
Li gii:
Dthy CK đường trung bình trong tam giác DHM do vy K là trung
đim ca HM. Li có DADM DDHM DM = MH = 2
Do vy DH = HK = KM .
Mt khác DADH = DMCK AH = CK; li cóBAH = BCK do đó:
DBAH = DBCK BH = BK
ABH = KBC
Suy ra ABH + HBC = KBC + HBC = 900 hay BH ^ BK BHK = 450
Do DDHI = DKHI DHI = KHI = 450 ( do DHI = DAI = 450 )
Khi đó: BH ^ HI BK / /HI BK :3x+ y 4= 0.
Do vy B = d BK B 2;2.
x3 + x+ y 3 = y 5x2 +4y2 ,
Câu 2: Gii hphương trình
x2 y+ 1+ y2 x= 2 3.
(x; y).
Li gii.
Điu kin x; y. Phương trình thnht ca htương đương vi
x3 + x3 +3x2 y+3xy2 + y3 = 5x2 y+4y3 2x3
2x2 y+
3xy2
3=y3
0
2x2 (x
y+
3y2 (x
=y)
0
(2+x2
3y2 )(x =y)0
2x2 +3y2 = 0
x = y
2x2 +3y2 = 0 x = y = 0.
Vi x = y thì phương trình thhai ca htrthành
x2
x+
1+
x2
x= 2
3
(1).
Để ý rng x2
x+
1=
x
12
2
3
4
"0, x
nên (1) đưa vdng
x2
x+
1+
x2
x= 23
x2
=x
2+
+ x2
x
2
x2
x
=2
(x2
x
2)
x
x
2 + 0
(x 1)x
2
0
1
x
2
Thtrc tiếp đi đến kết lun hcó các nghim (x; y)= (t;t) vi t[
1;2].
đây suy ra hphương trình đề bài có hai cp nghim (x; y)= 1+ 5 ;1+ 5 ,1
2 5 ;1
2 5 .
Câu 3: Trong mt phng vi hta độ Oxy, cho tam giác ABC cân ti A, cnh đáy BC có phương trình là
(d1 ): x+ y+1= 0,phương trình đường cao ktB (d2 ): x 2y =2 0. Viết phương trình đường thng
AB, AC
và tìm ta độ đim A biết rng đường cao ktC qua đim M (2;1).
Tham gia các khóa Luyn thi trc tuyến môn Toán ti MOON.VN để đạt đim scao nht trong kì thi THPT Quc gia 2016!
2
2
3
 
 
3 3
2
1
)
2 4
C ;
4
9
4
C ;
5
4
x
9
y x y
+
=
3
)
)
)
x
=
.
t 40
2
2
(
t
3
2
4
3
2
(
t
)
t
5
+
+
Khóa CHINH PHC ĐIM 10 MÔN TOÁN ĐẶNG VIT HÙNG NGUYN TH DUY VŨ VĂN BC
Ta có B = d1 d2 B(0;
1)
Li gii
Do C d1 : x + y +1= 0 C(t;
t
1)
Gi H là trung đim ca BC H t ; t2 2
Đường thng AC qua C(t; t 1) và vuông góc vi d 2 nên
phương trình đường thng AC :2x + y
+t
1=
0
Đường thng AH qua H t ; t2 2 và vuông góc vi d1 nên
phương trình đường thng AH : x y t= 1 0
Ta có A = AC AH A 2t ; t3 3
Do CM ^ AB BA.MC = 0
BA = 2t ; t ;MC= (t 2; t 2)
3(t
2)
3(
t=
2 0=
t
3 A9;
11 2
9 3
5
3
Đường thng AB qua A9;
11 B(0;
1) nên đường thng AB : x + 2y + 2 = 0
Đường thng AC qua A9;
11 2
9 3
3 nên đường thng AC :6x +3y +1= 0
Vy A9;
11, AC :6+
3+ 1= 0, AB: + 2 + 2= 0.
(x2 + y2 )(2x+3y)= x3 +9y3
Câu 4: Gii hphương trình x
2y
1 2 2x
x y
y 12 40
2 9
Li gii.
Điu kin x 2y 4. Phương trình thnht ca htương đương vi
2x3 +3x2 y+2xy2 +3y3 = x3 +9y3 x3 +3x2 y+2xy2
6y=
0
x2 (x
y+
4xy(x
+y)
6y2 (x =y)0
(x
y+(x2 +4xy
=6y2 0
x = y
(x+2y)2 +4y2 = 0
Xét hai trường hp
(x+2y)2 +4y2 = 0 x+2y = y = 0 x = y = 0.
Vi x = y thì phương trình thhai ca htrthành xx12 + x
12 40
2 9
Đặt x
1=
t thu được t +12 +t t 12 = 9 t2 (t
1)+
t2 (+t
1)=
40 2
9
1)2
t4
2t+
t+
t+
2t+
t=
40 4
9
2+t2
1
11t4
4+9t2
=20
0
(t2
4)(11 2
=5)
0
t2
4;11 x3;
1;
5
11
1;
5
11
1
Tham gia các khóa Luyn thi trc tuyến môn Toán ti MOON.VN để đạt đim scao nht trong kì thi THPT Quc gia 2016!
+
+
+
5
 
 
 

 
2
2
)
(
3
)
1 3
=
x
+
(
=
x
+
2
2
2
Khóa CHINH PHC ĐIM 10 MÔN TOÁN ĐẶNG VIT HÙNG NGUYN TH DUY VŨ VĂN BC
Đối chiếu điu kin ta có nghim (x; y)= (3;3),(
1;
1),
5
11
1;
5
11
1,
5
11
1; + 11
1.
Câu 5: Trong mt phng vi hta độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm K, M đim di động trên cnh AB.
Trên cnh AD, BC ln lượt ly đim E, F sao cho AM = AE, BM = BF, phương trình EF : x 2= 0. Gi H
hình chiếu vuông góc ktM ti đường thng EF. Tìm ta độ các đỉnh ca hình vuông ABCD biết phương
trình đường tròn ngoi tiếp tam giác ABH x2 + y2 +4x
2y
1=5
0 và A, H đều có tung độ dương.
Li gii
Ta có EAM = MHE = 900 tgiác AMHE
ni tiếp
AEM = AHM = 450
Tương ttgiác HMBF
ni tiếp BFM = BHM = 450
AHB = 900 AH ^ BH
Ta có AE = CF K là tâm ca hình vuông
Ta có AHB = AKB = 900 tgiác AHKB ni tiếp
Ta có H,K = EF (ABH) H (2;3),K (2; 1)
Đường tròn ngoi tiếp tam giác ABH
có tâm I (
2;1) bán
kính R = 5
Đường thng AB qua I (
2;1) và vuông góc vi IK nên
đường thng AB :2x
y+
5=
0
Do A,B là giao đim ca A,B vi đường tròn ngoi tiếp tam
giác ABH
nên ta độ A,B tha mãn
2x y+ 5= 0
x2 + y2 + 4x 2y
Vy A(0;5),B( 4;
y= 2x+ 5
1=5 0 5x+ 20=x
3),C(4; 7),D(8;1)
x = 0 y = 5
0 x = 4 y =
A(0;5) C(4; 7)
3 B( 4; 3) D(8;1)
Câu 6: Gii hphương trình (x 1)(x2
2 2x y+
2+x
15=
4=)
x+
+y3
5y.
3y,
(x; y).
Điu kin 2x y .
Li gii.
Phương trình thnht ca htương đương vi (x 1)(x 1+2 3= +y3 3y (x +1)3
Đặt x 1= u; u3 +u = y3 + y u3 y+ 3u 3=y 0 (u y)+u2 +uy +y2 =3) 0.
3(x=
1 +
y3
3y.
2
Vi u2 +uy+ y2 +1= 0 u + 2 y + 4 y2 = 1 (Vô nghim).
Vi u = y x+1= y thì phương trình thhai ca htrthành
2 x+1 = x2 +5x 20 2( + 1 2)
x2
5x
24
2x 6
x+1+2
3)(x
8)
x = 3
x+1+2 = x+8
(1)
Rõ ràng x+1+2 2 =1< 7 x+8,"x 1(1) vô nghim.
Từ đây suy ra hban đầu có nghim duy nht (x; y)= (3;4).
Tham gia các khóa Luyn thi trc tuyến môn Toán ti MOON.VN để đạt đim scao nht trong kì thi THPT Quc gia 2016!

Chinh phục điểm 10 môn Toán

Đăng ngày | Thể loại: | Lần tải: 12 | Lần xem: 0 | Page: 5 | FileSize: M | File type: PDF
0 lần xem

Chinh phục điểm 10 môn Toán. Nhằm giúp các bạn học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi học kỳ sắp tới cùng củng cố và ôn luyện kiến thức, rèn kỹ năng làm bài thông qua việc Chinh phục điểm 10 môn Toán. Hi vọng đây là tài liệu hữu ích cho các bạn trong việc ôn tập.. Cũng như các tài liệu khác được bạn đọc giới thiệu hoặc do sưu tầm lại và giới thiệu lại cho các bạn với mục đích tham khảo , chúng tôi không thu tiền từ người dùng ,nếu phát hiện nội dung phi phạm bản quyền hoặc vi phạm pháp luật xin thông báo cho chúng tôi,Ngoài thư viện tài liệu này, bạn có thể tải đề thi, giáo trình phục vụ học tập Một số tài liệu download mất font không hiển thị đúng, có thể máy tính bạn không hỗ trợ font củ, bạn tải các font .vntime củ về cài sẽ xem được.

Nội dung


Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

CHINH PHỤC MỤC TIÊU 26 ĐIỂM ĐẠI HỌC
Thầy Đặng Việt Hùng – MOON.VN

Công thức 26 điểm trở lên: Toán 8.5; Lí 8,5; Hóa 9,0 trở lên nhé.
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I. Gọi M là điểm đối xứng của D qua
C. Gọi H, K lần lượt là chân đường cao hạ từ D, C lên AM. Giả sử K (1;1) , đỉnh B thuộc đường thẳng
5 x + 3 y − 10 = 0. Và phương trình đường thẳng HI : 3 x + y + 1 = 0. Tìm tọa độ đỉnh B.
Lời giải:
Dễ thấy CK là đường trung bình trong tam giác DHM do vậy K là trung
AD DH 1
điểm của HM. Lại có ∆ADM ∼ ∆DHM ⇒
=
=
DM MH 2
Do vậy DH = HK = KM .
 = BCK
 do đó:
Mặt khác ∆ADH = ∆MCK ⇒ AH = CK ; lại có BAH

∆BAH = ∆BCK ⇒ BH = BK và 
ABH = KBC

 = KBC
 + HBC
 = 900 hay BH ⊥ BK ⇒ BHK
 = 450
Suy ra 
ABH + HBC
 = KHI
 = 450 ( do DHI
 = DAI
 = 450 )
Do ∆DHI = ∆KHI ⇒ DHI
Khi đó: BH ⊥ HI ⇒ BK / / HI ⇒ BK : 3 x + y − 4 = 0 .
1 5
Do vậy B = d ∩ BK ⇒ B  ;  .
2 2

 x 3 + ( x + y )3 = y ( 5 x 2 + 4 y 2 ) ,

Câu 2: Giải hệ phương trình 
( x; y ∈ ℝ ) .
2
2
 x − y + 1 + y − x − 2 = 3.
Lời giải.
Điều kiện x; y ∈ ℝ . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với

x3 + x 3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + y 3 = 5 x 2 y + 4 y 3 ⇔ 2 x3 − 2 x 2 y + 3 xy 2 − 3 y 3 = 0
2 x2 + 3 y 2 = 0
⇔ 2 x2 ( x − y ) + 3 y 2 ( x − y ) = 0 ⇔ ( 2 x2 + 3 y 2 ) ( x − y ) = 0 ⇔ 
x = y
2
2
 2x + 3 y = 0 ⇔ x = y = 0 .
 Với x = y thì phương trình thứ hai của hệ trở thành x 2 − x + 1 + x 2 − x − 2 = 3

(1) .

2

1 3

Để ý rằng x − x + 1 =  x −  + > 0, ∀x ∈ ℝ nên (1) đưa về dạng
2 4

x2 − x + 1 + x2 − x − 2 = 3 ⇔ x2 − x − 2 = − x2 + x + 2
2

⇔ x 2 − x − 2 = − ( x 2 − x − 2 ) ⇔ x 2 − x − 2 ≤ 0 ⇔ ( x + 1)( x − 2 ) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 2

Thử trực tiếp đi đến kết luận hệ có các nghiệm ( x; y ) = ( t ; t ) với t ∈ [ −1; 2] .

 1+ 5 1+ 5   1− 5 1− 5 
đây suy ra hệ phương trình đề bài có hai cặp nghiệm ( x; y ) = 
;
;
,
.
2   2
2 
 2
Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, cạnh đáy BC có phương trình là
( d1 ) : x + y + 1 = 0, phương trình đường cao kẻ từ B là ( d 2 ) : x − 2 y − 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng
AB, AC và tìm tọa độ điểm A biết rằng đường cao kẻ từ C qua điểm M ( 2;1) .

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!

Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC
Lời giải

Ta có B = d1 ∩ d 2 ⇒ B ( 0; −1)

Do C ∈ d1 : x + y + 1 = 0 ⇒ C ( t ; −t − 1)

 t −t − 2 
Gọi H là trung điểm của BC ⇒ H  ;

2 
2
Đường thẳng AC qua C ( t ; −t − 1) và vuông góc với d 2 nên
phương trình đường thằng AC : 2 x + y − t + 1 = 0
 t −t − 2 
Đường thẳng AH qua H  ;
 và vuông góc với d1 nên
2 
2
phương trình đường thẳng AH : x − y − t − 1 = 0
 2t −t − 3 
Ta có A = AC ∩ AH ⇒ A  ;

3 
3
 
Do CM ⊥ AB ⇒ BA.MC = 0
  2t t  
Mà BA =  ; −  ; MC = ( t − 2; −t − 2 )
 3 3
2
1
2
 4 11 
 2 5
⇒ ( t − 2 ) − ( −t − 2 ) = 0 ⇔ t = ⇒ A  ; −  và C  ; − 
3
3
3
9 9 
 3 3
 4 11 
Đường thẳng AB qua A  ; −  và B ( 0; −1) nên đường thẳng AB : x + 2 y + 2 = 0
9 9 
 4 11 
 2 5
Đường thẳng AC qua A  ; −  và C  ; −  nên đường thẳng AC : 6 x + 3 y + 1 = 0
9 9 
 3 3
 4 11 
Vậy A  ; −  , AC : 6 x + 3 y + 1 = 0, AB : x + 2 y + 2 = 0.
9 9 

( x 2 + y 2 ) ( 2 x + 3 y ) = x 3 + 9 y 3

Câu 4: Giải hệ phương trình  x − 1 2  2 x − y − 1  2 40

 +
 =
9
 2 y − x   y − 2 

Lời giải.
Điều kiện x ≠ 2 y ≠ 4 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
2 x 3 + 3 x 2 y + 2 xy 2 + 3 y 3 = x3 + 9 y 3 ⇔ x3 + 3 x 2 y + 2 xy 2 − 6 y 3 = 0
x = y
⇔ x 2 ( x − y ) + 4 xy ( x − y ) + 6 y 2 ( x − y ) = 0 ⇔ ( x − y ) ( x 2 + 4 xy + 6 y 2 ) = 0 ⇔ 
2
2
( x + 2 y ) + 4 y = 0
Xét hai trường hợp
2
 ( x + 2 y ) + 4 y2 = 0 ⇔ x + 2 y = y = 0 ⇔ x = y = 0 .
40
 x −1   x −1 
 Với x = y thì phương trình thứ hai của hệ trở thành 
.
 +
 =
9
 x   x−2
2

2

2

2

2
40
40
2
2
 t   t 
Đặt x − 1 = t thu được 
⇔ t 2 ( t − 1) + t 2 ( t + 1) = ( t 2 − 1)
 +
 =
9
9
 t +1   t −1 
40
⇔ t 4 − 2t 3 + t 2 + t 4 + 2t 3 + t 2 = ( t 4 − 2t 2 + 1) ⇔ 11t 4 − 49t 2 + 20 = 0
9


5
5
 5
⇔ ( t 2 − 4 )(11t 2 − 5 ) = 0 ⇔ t 2 ∈ 4;  ⇒ x ∈ 3; −1;
+ 1; −
+ 1
11
11 
 11 


Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!

Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC
 5
 

5
5
5
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm ( x; y ) = ( 3;3) , ( −1; −1) , 
+ 1;
+ 1 ,  −
+ 1; −
+ 1 .
11   11
11 
 11

Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm K, M là điểm di động trên cạnh AB.
Trên cạnh AD, BC lần lượt lấy điểm E, F sao cho AM = AE, BM = BF, phương trình EF : x − 2 = 0. Gọi H là
hình chiếu vuông góc kẻ từ M tới đường thẳng EF. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết phương
trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH là x 2 + y 2 + 4 x − 2 y − 15 = 0 và A, H đều có tung độ dương.
Lời giải
0


Ta có EAM = MHE = 90 ⇒ tứ giác AMHE nội tiếp
⇒
AEM = 
AHM = 450
 = BHM
 = 450
Tương tự tứ giác HMBF nội tiếp ⇒ BFM
⇒
AHB = 900 ⇒ AH ⊥ BH
Ta có AE = CF ⇒ K là tâm của hình vuông
Ta có 
AHB = 
AKB = 900 ⇒ tứ giác AHKB nội tiếp
Ta có H , K = EF ∩ ( ABH ) ⇒ H ( 2;3) , K ( 2; −1)

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH có tâm I ( −2;1) bán

kính R = 5
Đường thẳng AB qua I ( −2;1) và vuông góc với IK nên

đường thẳng AB : 2 x − y + 5 = 0
Do A, B là giao điểm của A, B với đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABH nên tọa độ A, B thỏa mãn
2 x − y + 5 = 0
 y = 2x + 5
x = 0 ⇒ y = 5
 A ( 0;5 )
C ( 4; −7 )




 2




2
2
 x = −4 ⇒ y = −3  B ( −4; −3)  D ( 8;1)
 x + y + 4 x − 2 y − 15 = 0
5 x + 20 x = 0

Vậy A ( 0;5 ) , B ( −4; −3) , C ( 4; −7 ) , D ( 8;1)

( x − 1) ( x 2 − 2 x + 4 ) = y 3 + 3 y,
Câu 6: Giải hệ phương trình 
2
2 2 x − y + 15 = x + 5 y.
Lời giải.
Điều kiện 2x ≥ y .

( x; y ∈ ℝ ) .

2
3
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với ( x − 1) ( x − 1) + 3 = y 3 + 3 y ⇔ ( x − 1) + 3 ( x − 1) = y 3 + 3 y .


Đặt x − 1 = u; ⇒ u 3 + u = y 3 + y ⇔ u 3 − y 3 + 3u − 3 y = 0 ⇔ ( u − y ) ( u 2 + uy + y 2 + 3) = 0 .
2

1  3

Với u 2 + uy + y 2 + 1 = 0 ⇔  u + y  + y 2 = −1 (Vô nghiệm).
2  4

Với u = y ⇔ x + 1 = y thì phương trình thứ hai của hệ trở thành
2 x + 1 = x 2 + 5 x − 20 ⇔ 2


(

)

x + 1 − 2 = x 2 + 5 x − 24

x = 3
2x − 6
= ( x − 3)( x + 8 ) ⇔ 
2

= x+8
x +1 + 2
 x + 1 + 2

(1)

2
2
≤ = 1 < 7 ≤ x + 8, ∀x ≥ −1 ⇒ (1) vô nghiệm.
x +1 + 2 2
Từ đây suy ra hệ ban đầu có nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 3; 4 ) .

Rõ ràng

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!

Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC
9 3
Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với M  ; −  là trung điểm của đoạn BC
2 2
và đường cao xuất phát từ đỉnh A có phương trình x + 3 y − 5 = 0. Gọi E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ
đỉnh B, C của tam giác ABC. Tìm tọa độ đỉnh A, biết đường thẳng đi qua hai điểm E, F có phương trình
2 x − y + 2 = 0.
Lời giải:
1
Gọi I là trung điểm của AH ta có: IE = IF = AH
2
1
Mặt khác ME = MF = BC nên IM và đường trung trực của EF.
2
3
 11 7 
Khi đó: IM : x + 2 y − = 0 ⇒ I  − ;  .
2
 2 2
 = IHE
 ; MEH
 = MBH
 ( do IE = IH ; ME = MB )
Lại có: IEH

 + MBH
 = 900 ⇒ IEH
 + HEM
 = 900 ⇒ IE ⊥ ME .
Mặt khác IHE
 
t = 2
3 
7
 11  9  
Gọi E ( t ; 2t + 2 ) ta có: EM .EI = 0 ⇔  t +  t −  +  2t −   2t +  = 0 ⇔ 
2  2  
2 
2

t = −3
2

2

125
7  125
 21
 
⇔  − 3u  +  u −  =
Với t = 2 ⇔ E ( 2;6 ) . Gọi A ( 5 − 3u; u ) ta có: IA = IE =
2
2
2
 2
 
u = 6  A ( 2;1)
⇔
⇒
u = 1
 A ( −13; 6 )
2

2

2

2

7  125
 21
 
Với t = 2 ⇔ E ( −3; −4 ) ⇒  − 3u  +  u −  =
(tương tự như TH trên)
2
2
 2
 
Kết luận: A ( 2;1) hay A ( −13;6 ) .
3 x − 11 y + 4 y ( 3 x + y ) + 3 x + y = 2 y

Câu 8: Giải hệ phương trình 
3 x 2 y − 5 y 2 + 3 = y 2 3 2 y 2 − x3
Lời giải.
Điều kiện 3 x + y ≥ 0; y ≥ 0 .

Đặt a = 3x + y ; b = 2 y ; a ≥ 0, b ≥ 0 thì phương trình thứ nhất trở thành

a 2 + 2ab − 3b 2 + a − b = 0 ⇔ a 2 + 3ab + a − ab − 3b 2 − b = 0
⇔ a ( a + 3b + 1) − b ( a + 3b + 1) = 0 ⇔ ( a − b )( a + 3b + 1) = 0 ⇒ a = b ⇒ x = y
Phương trình thứ hai trở thành 3x 3 − 5 x 2 + 3 = x 2 3 2 x 2 − x3 . Điều kiện x ∈ ℝ .
Nhận xét: x = 0 không thỏa mãn phương trình đã cho.
Xét trường hợp x ≠ 0 , phương trình đã cho tương đương với .
1
Đặt = t thu được phương trình 3t 3 − 5t + 3 = 3 2t − 1 ⇔ 3t 3 + t = 3 ( 2t − 1) + 3 2t − 1 (*).
x
Xét hàm số f ( t ) = 3t 3 + t ta có f ′ ( t ) = 9t 2 + 1 > 0, ∀t ∈ ℝ .
Do đó hàm số f ( t ) liên tục và đồng biến trên ℝ . Suy ra

( ∗) ⇔ f ( t ) =

f

(

3

)

2t − 1 ⇔ t 3 − 2t + 1 = 0 ⇔ ( t − 1) ( t 2 + t − 1) = 0

 −1 − 5 −1 + 5 
 1 − 5 1 + 5 
⇒ t ∈ 1;
;
;
 ⇒ x ∈ 1;

2
2 
2
2 



Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!

Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC
 1 − 5 1 + 5 
Thử lại, phương trình đã cho có tập nghiệm S = 1;
;
.
2
2 

Câu 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại B có AB = 2BC, D là trung điểm
cạnh AB. E thuộc cạnh AC sao cho AC = 3EC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết phương trình
 16 
đường thẳng CD : x − 3 y + 1 = 0 và E  ;1 .
 3 
Lời giải
Giả sử BC = a, AB = 2a ⇒ CD = a 2, AC = a 5

CD 2 + CA2 − AD 2
3

Ta có cos DCA =
=
2CD.CA
10
 16 
Đường thẳng AC qua E  ;1 nên gọi phương trình
 3 
16 

đường thẳng AC : a  x −  + b ( y − 1) = 0
3

a − 3b
3
 = cos (
Ta có cos DAC
CD, CA) =
=
2
2
10
10 a + b
a = 0
2
⇒ a − 3b = 3 a 2 + b 2 ⇔ ( a − 3b ) = 9 ( a 2 + b 2 ) ⇔ 8a 2 + 6ab = 0 ⇔ 
 4a + 3b = 0
• Trường hợp 1: a = 0 ⇒ AC : y − 1 = 0


Ta có C = AC ∩ CD ⇒ C ( 2;1) . Do AC = 3EC ⇒ CA = 3CE ⇒ A (12;1)

Do D ∈ DC ⇒ D ( 3t − 1; t ) ⇒ B ( 6t − 14; 2t − 1)


Ta có AB = ( 6t − 26; 2t − 2 ) , CB = ( 6t − 16; 2t − 2 )

t = 3
 B ( 4;5 )
Mà AB ⊥ CB ⇒ ( 6t − 26 )( 6t − 16 ) + ( 2t − 2 )( 2t − 2 ) = 0 ⇔  7 ⇒ 
t =
 B ( 7; 2 )
 2
• Trường hợp 2: 4a + 3b = 0 chọn a = 3, b = −4 ⇒ AC : 3 x − 4 y − 12 = 0


Ta có C = AC ∩ CD ⇒ C ( 8;3) . Do AC = 3EC ⇒ CA = 3CE ⇒ A ( 0; −3)
Do D ∈ DC ⇒ D ( 3t − 1; t ) ⇒ B ( 6t − 2; 2t + 3)


Ta có AB = ( 6t − 2; 2t + 6 ) , CB = ( 6t − 10; 2t )

 1
 B (1; 4 )
t=

Mà AB ⊥ CB ⇒ ( 6t − 2 )( 6t − 10 ) + 2t ( 2t + 6 ) = 0 ⇒
2⇒

 B ( 4;5 )
t = 1

Các khóa Vệ tinh chuyên sâu các mảng Toán khó tại Moon.vn
- Khóa CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY
- Khóa CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
- Khóa KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT
- Khóa KĨ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO
- Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!

1157700

Tài liệu liên quan