m
I
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - S 18. 2014
MÔDUN NÓN PHÂN THỚ COHEN MACAULAY
Xuân Dũng1
TÓM TẮT
Bài báo đưa ra một số đặc trưng Cohen-Macaulay của nón phân thớ ứng với lọc I-
adic của môđun trong trường hợp môđun phân bậc liên kết độ sâu hầu cực đại I số
bội tối tiểu. Đây các kết quả mở rộng của các kết quả trước đó của D'cruz-Raghavan-
Verma Jayanthan-Verma.
Từ khóa:
môđun phân bậc liên kết, nón phân thớ, hệ số Hilbert Cohen–
Macaulay.
1. GIỚI THIỆU
Cho (A,m ) là một vành địa phƣơng Cohen-Macaulay với trƣờng thặng dƣ vô hạn.
Cho I
là một iđêan m-nguyên sơ. Sự tác động của
hệ số Hilbert đối với độ sâu và tính
Cohen-Macaulay của vành phân bậc liên kết đƣợc nhiều tác giả quan tâm. Điều kiện của hệ
số Hilbert có tác động đến độ sâu của vành phân bậc liên kết đầu tiên đƣợc đƣa ra bởi Sally
[10]. Sau đó trong [7], Huckaba-Marley đặc trƣng đƣợc tính Cohen–Macaulay của vành
phân bậc liên kết qua hệ số Hilbert thứ hai.
Vấn đề tƣơng tự đƣợc đặt ra đối với vành nón phân thớ F (I)
n
n
0 In+1 . Trong [8],
Jayanthan-Verma chỉ ra rằng hệ số Hilbert thứ hai tƣơng ứng với hàm Hilbert
(A/mIn) ảnh
hƣớng đến tính Cohen–Macaulay của vành nón phân thớ. Kết quả này đƣợc Rossi-Valla trong
[9] mở rộng cho
nón phân thớ của môđun lọc. Còn Hệ số Hilbert của vành nón phân thớ ảnh
hƣởng nhƣ thế nào đến tính Cohen–Macaulay? Trong
trƣờng
hợp vành nón phân thớ của
iđêan, D'cruz-Raghavan-Verma [4] chỉ ra đƣợc tính Cohen–Macaulay của vành nón phân thớ
liên quan đến Hệ số Hilbert đầu tiên (số bội) và chuỗi Hilbert-Poincare của nón phân thớ.
Mục đích chính của bài báo này là mở rộng kết quả của D'cruz-Raghavan-Verma
trong [4] và Jayanthan-Verma trong [8].
Ngoài phần giới thiệu, bài báo chia thành hai mục. Mục 2 đƣa ra đặc trƣng tính
Cohen–Macaulay của nón phân thớ trong trƣờng hợp môđun phân bậc liên kết có độ sâu
hầu cực đại (Định lý 2.8). Mục 3 đƣa ra đặc trƣng tính Cohen–Macaulay của nón phân thớ
trong trƣờng hợp iđêan có số bội tối tiểu (Định lý 3.4)
2. TRƢỜNG HỢP ĐỘ SÂU HẬU CỰC ĐẠI
Trong bài viết luôn giả thiết A là vành Noether địa phƣơng với trƣờng thặng dƣ k:=
A/m vô hạn, M là A-môđun hữu hạn sinh, I là iđêan m-nguyên sơ và dim(M) = d.
1 Khoa Khoa học Tự nhiên, Đại học Hồng Đức
29
q
i
i
q
i
q
q
q
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - S 18. 2014
Định nghĩa 2.1.
(i)
Môđun phân bậc liên kết của môđun M ứng với I đƣợc xác định bởi công thức
GI(M):= n
0 InM/In+1M.
(ii)
(Xem
[9, Chapter 5 ]) Giả sử q là một iđêan tùy ý chứa I. Nón phân thớ
của
môđun M ứng với q và I đƣợc xác định bởi công thức
Fq,I(M) := n
0 InM/q In+1M.
Nếu M = A và q = m thì đây là nón phân thớ cổ điển của I: Fm(I) := n
0 In/m In.
Nhận xét 2.2. (i) GI(M) và Fq,I(M) là các môđun phân bậc trên G := GI(A).
(ii) Nếu I là iđêan m-nguyên sơ thì ta có dim(GI(M)) = dim(Fq,I(M)) = dim(M).
(iii) Với
n
0 thì
HI,M(n) =
(M/InM), Hq,I,M(n) =
(M/qInM) và
hF ,I(M)(n) =
(InM/qInM) là các đa thức và ta gọi là đa thức Hilbert của môđun M ứng với I,
đa thức
Hilbert của môđun M ứng với q và I và
đa thức Hilbert của nón phân thớ Fq,I(M). Các đa
thức này viết duy nhất dƣới dạng:
d
PI,M(n) = (
i 0
n+d-i-1
1) ei(I,M) d-i
,
(1)
d
Pq,I,M(n) = (
i 0
n+d-i-1
1) ei(q,I,M) d-i
, (2)
d-1
pF ,I(M)(n) = i 0(
n+d-i-1
1) ei(F ,I(M) d-i-1
.
Khi đó các số
nguyên ei(I,M) đƣợc gọi là
hệ số Hilbert thứ i của M ứng với I; các
số nguyên ei(q,I,M) đƣợc gọi là
hệ số Hilbert thứ i của M ứng với q và I; các số nguyên
ei(Fq,I(M)) đƣợc gọi là hệ số Hilbert thứ i nón phân thớ Fq,I(M).
Bổ đề 2.3. ([9], xem tr. 80) Cho M A-môđun hữu hạn sinh với dim(M) = d
1.
Giả sử I
q. Khi đó
(i) e0(I,M) = e0(q, I, M),
(ii) ei-1(Fq,I(M)) = ei(I,M) - ei(q,I,M), với mọi 1
i
d - 1.
Môđun phân bậc liên kết GI(M) có grade(G+,G_I(M))
d - 1 gọi là có
độ sâu hầu
cực đại.
Chuỗi Hilbert-Poincare của
Fq,I(M) đƣợc xác định bởi công thức HPF ,I(M)(t) =
hF ,I(M)(i)ti .
i 0
Ta có kết quả quen biết sau:
30
q
q
q
(i)
F (M)
q,I
q
d
i!
1
F
q
q q
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - S 18. 2014
Bổ đề 2.4. (Xem
[3, Lemma 4.1.7, Proposition 4.1.9
và Proposition 4.1.12]) Tồn
tại một đa thức
QF ,I(M)(t)
Z[t] sao cho QF ,I(M)(1)
0 và
HPF ,I(M)(t)
=Q(1-t)(t). Hơn nữa ei(Fq,I(M)) = QF ,I(M)(1)với mọi i
0.
Định nghĩa 2.5.
(Xem [3])
Giả sử J
I
là các iđêan của A. Iđêan
J
đƣợc gọi là
rút gọn của I ứng với môđun M nếu có một số nguyên không âm
n0 sao cho In+1M = JInM
với mọi n
n0. Một rút gọn của I ứng với môđun M đƣợc gọi là một rút gọn tối tiểu của I
ứng với môđun M
nếu nó không thực sự chứa một rút gọn nào khác của I ứng với môđun
M.
Định nghĩa 2.6. ([9, Chapter 4]) Số rút gọn của I ứng với môđun M là số
rI(M): = min{t
0 | In+1M = JInM với mọi J là rút gọn tối tiểu của I và với mọi n
t}.
Khi đó Rossi-Valla trong [9] đã chặn đƣợc e1(q, I,M) nhƣ sau:
Mệnh đề 2.7. Cho M môđun Cohen-Macaulay chiều
d
1 trên vành địa phương
A trường thặng hạn J một rút gọn tối tiểu của I. Giả sử I
q. Khi đó
(qInM+JM/JM)
(M/qM)
e1(q,I,M)
(qInM+JIn-1M/JIn-1M)
(M/qM)
i 0
i 0
Tiếp theo ta đi đến kết quả chính của mục này.
Định 2.8. Cho M môđun Cohen-Macaulay chiều d
1, J một rút gọn tối
tiểu của I r:=rI(M). Giả sử I
q grade(G+,GI(M))
d-1. Khi đó các điều kiện sau
tương đương:
(i) Fq,I(M) môđun Cohen-Macaulay.
(ii) e1(q,I,M)=
(qInM+JM/JM)
(M/qM).
i 0
(iii)
HP q,I(M)(t) = (1-t)d
M
qM
r
n=1
InM
JIn-1M qInM
tn
r
(iv) e0(Fq,I(M)) =
n=1
InM
JIn-1M qInM
M
qM
.
Chứng minh.
"(i)
(ii)" Giả sử Fq,I(M) là môđun Cohen-Macaulay. Vì J là một rút gọn tối tiểu
của I ứng với M và trƣờng thặng dƣ của A vô hạn ta có thể chọn sao cho
J +I2/I2 đƣợc sinh
bởi một hệ tham số thuần nhất bậc 1. Do vậy
e0(F ,I(M)) =
(F ,I(M)/JF ,I(M)) =
i 1
IiM
qIiM+JIi-1M
M
qM
Theo giả thiết grade(G+,GI(M))
d - 1 nên theo [9, Theorem 2. 5 (c)] ta có
e1(I,M) =
IiM/JIi-1M
. Dẫn đến
i 1
31