1. Chương 4: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC 4.1 KHÁI NIỆM 4.2 CHUỖI FOURIER RỜI RẠC (DFS) 4.3 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT) 4.4 BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT)  1
  2. 4.1 KHÁI NIỆM  j Biến đổi Fourier dãy x(n): X ( e )  x( n )e  j n n  X(ej) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính: Tần số  liên tục Độ dài x(n) là vô hạn: n biến thiên -∞ đến ∞ Khi xử lý X(ej) trên thiết bị, máy tính cần:  Rời rạc tần số  -> K  Độ dài x(n) hữu hạn là N: n = 0  N -1  Biến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tần số rời rạc, gọi tắt là biến đổi Fourier rời rạc – DFT (Discrete Fourier Transform) 2 
  3. 4.2 CHUỖI FOURIER RỜI RẠC CỦA TÍN HIỆU TUẦN HOÀN (DFS)  n ) tuần hoàn với chu kỳ N:  Xét tín hiệu x(  n )  x( x(  n  lN )  n ) được biểu diễn bởi tổng các Khi đó tín hiệu tuần hoàn x( hàm mũ phức. 2 j nk N  Xét hàm mũ phức ek ( n )  e tuần hoàn với chu kỳ N: 2 2 j ( n  rN )k j nk ek ( n  rN )  e N e N  ek ( n ) 2 2 j ( k  lN )n j nk ek  lN ( n )  e N e N  ek ( n ) 3 
  4.  n ) có thể biểu diễn bởi một chuỗi  Tín hiệu tuần hoàn x( Fourier dưới dạng: N 1 2 1 j nk  n) x( N  X ( k )e N k 0 2 N 1 2 2 j mn 1 j nk  j mn  n )e  x( N  N  X ( k )e N e N k 0 N 1 2 N 1 N 1 2 j mn 1 j  k  m n   n )e  x( N  N   X ( k )e N n0 n  0 k 0 2 2 N 1 j mn N 1 1 N 1 j  k m n    n )e  x( N   X ( k )  e N  n 0 k 0  N n 0  4 
  5. 2 1 N 1 j  k  m n 1: k  m  Do: e N  N k 0 0 : k  m 2 2 N 1 j mn N 1 1 N 1 j  k m n    n )e  x( N    X ( k ) e N   X ( m ) n0 k 0  N n 0   n) :  Hay ta có cặp phân tích và tổng hợp của chuỗi x( 2  N 1  j kn  X ( k )   x(  n )e N  n0  N 1 2  1  j kn  x( n )  N n X ( k )e N 0 5 
  6. 4.3 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT) 4.3.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC  DFT của x(n) có độ dài N định nghĩa: 2  N 1  j kn   x( n )e N : 0  k  N  1 X ( k )   n0 0 : k còn lại  2  N 1 kn j N  x( n )W N : 0  k  N 1 WN  e X ( k )   n 0 0 : k còn lại   WN tuần hoàn với độ dài N: 2 2 j ( r  mN ) j r W N( r  mN )  e N e N  W Nr 6 
  7. • X(k) biểu diễn dưới dạng modun & argument: X ( k )  X ( k ) e j ( k ) X ( k ) - phổ rời rạc biên độ Trong đó:  ( k )  arg[ X ( k )] - phổ rời rạc pha 1 N 1 2 j kn  IDFT:  x( n )   N  X ( k )e N : 0  n  N 1 k 0  0 : n còn lại  Cặp biến đổi Fourier rời rạc:  N 1 kn  X ( k )   x( n )W N : 0  k  N 1  n0  N 1  x( n )  1  kn   N k 0 X ( k )W N : 0  n  N 1  7 
  8. Ví dụ 4.3.1: Tìm DFT của dãy: x( n)  1,2,3,4    3 2 j X ( k )   x( n )W4kn W41  e 4   j;W42  1;W43  j n 0 3 X ( 0 )   x( n )W40  x( 0 )  x( 1 )  x( 2 )  x( 3 )  10 n0 3 X ( 1 )   x( n )W4n  x( 0 )  x( 1 )W41  x( 2 )W42  x( 3 )W43  2  j 2 n0 3 X ( 2 )   x( n )W42 n  x( 0 )  x( 1 )W42  x( 2 )W44  x( 3 )W46  2 n 0 3 X ( 3 )   x( n )W43 n  x( 0 )  x( 1 )W43  x( 2 )W46  x( 3 )W49  2  j 2 n 0 8 
  9. Ví dụ: 4.3.2: a) Tìm FT của dãy x(n)=an u(n), với /a/
  10.  Biến đổi DFT của x(n): N 1 N 1 n 1 aN X(k )  n  N  a W kn  aW Nk   1  aW Nk n0 n 0 1 aN X( k )  2 1  2a cos k  a2 N 2 a sin k arg  X ( k )  arctg N 2 a cos k 1 N 10 
  11. /X(ej)/ 4 a=3/4 0  2  /X(k)/ 4 a=3/4 8 N=16 0 8 16 k 11 
  12. arg[X(ej)] /2 a=3/4 0  8 2  -/2 arg[X(k)] a=3/4 N=16 0 8 8 16 k 12 
  13. 4.3.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA DFT a. Tuyến tính DFT DFT  Nếu: x1(n)N  X1(k ) N x2 ( n)N   X2 ( k )N DFT  Thì: a1 x1(n)N  a2 x2 ( n)N  a1X1( k )N  a2 X2 ( k )N Nếu: Lx1  N1  N2  Lx2 Chọn: N  max{ N1 , N 2 } b. Dịch vòng DFT  Nếu: x( n )N   X( k ) N DFT Thì: x( n  n0 )N  WNkn0 X( k ) N gọi là dịch vòng của x(n)N đi n0 đơn vị  n  n0 )N rect N (n) Với: x( n  n0 )N  x( 13 
  14. Ví dụ 4.3.1: Cho: x ( n)  1,2,3,4    a) Tìm dịch tuyến tính: x(n+3), x(n-2) b)Tìm dịch vòng: x(n+3)4, x(n-2)4 x(n) 4 3 2 1 n 0 1 2 3 x(n+3) x(n-2) 4 4 3 3 a) 2 2 1 n 1 n -3 -2 -1 0 0 1 2 3 4 5 14 
  15. x(n) x(n-1)4 b) 4 4 3 3 2 2 1 1 n n 0 1 2 3 0 1 2 3 N x(n+1)4 4 3 2 x( n  2 )4   3 , 4 ,1, 2  1 n 0 1 2 3 x( n  3 )4   4,1, 2,3  15 
  16. c. Chập vòng DFT DFT  x(n) Nếu: 1 N  X1(k)N x2(n)N  X2(k)N DFT  x Thì: 1 ( n )N  x2 ( n )N   X1( k )N X2 ( k )N N 1 Chập vòng 2 dãy Với: x1( n)N  x2 (n)N   x1(m )N x2 (n  m )N m0 x1(n) & x2(n) Dịch vòng dãy Và: x2 ( n  m )N  x 2 ( n  m )N rect N ( n ) x2(-m) đi n đ/vị Chập vòng có tính giao hoán: x1( n)N  x2 ( n)N  x2 ( n)N  x1( n)N Nếu: Lx1  N1  N2  Lx2 Chọn: N  max{ N1 , N 2 } 16
  17. Ví dụ 4.3.2: Tìm chập vòng 2 dãy x1 ( n)  2,3,4    x2 (n )  1 , 2 , 3 , 4   N 1 x3 ( n)N  x1(n)N  x2 ( n)N   x1(m )N x2 (n  m )N với N-1n 0 m0  Chọn độ dài N: N1  3,N 2  4  N  max{ N1 ,N 2 }  4 3 x3 ( n )4  x1 ( n )4  x2 ( n )4   x1 ( m )4 x2 ( n  m )4 : 0  n  3 m 0  Đổi biến n->m: x1 ( m )   2 ,3, 4,0   x2 ( m )  1 , 2 , 3 , 4     Xác định x2(-m)4: x2 ( m )4  x2 ( m )4 rect4 ( n )  1, 4 ,3, 2   17
  18. x2(m) x2(-m) 4 4 3 3 2 2 1 m 1 m 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 x 2 ( m ) x2 (  m )4  x 2 (  m )rect 4 ( n ) 4 4 3 3 2 2 1 m 1 m -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 18
  19.  Xác định x2(n-m) là dịch vòng của x2(-m) đi n đơn vị với 3  n  0 x2(-m)4 x2(1-m)4 4 4 3 3 2 2 1 m 1 m 0 1 2 3 0 1 2 3 x2(2-m)4 x2(3-m)4 4 4 3 3 2 2 1 m 1 m 0 1 2 3 0 1 2 3 19 
  20.  Nhân các mẫu 3 x1(m) & x2(n-m) x3 ( n )4   x1 ( m )4 x2 ( n  m )4 : 0  n  3 m 0 và cộng lại: 3  n=0: x3 ( 0 )4   x1 ( m )4 x2 ( 0  m )4  26 m 0 3  n=1: x3 ( 1 )4   x1 ( m )4 x2 ( 1  m )4  23 m 0 3  n=2: x3 ( 2 )4   x1 ( m )4 x2 ( 2  m )4  16 m 0 3  n=3: x3 ( 3 )4   x1 ( m )4 x2 ( 3  m )4  25 m 0 Vậy: x3 ( n )4  x1 ( n )4  x2 ( n )4   26,23,16,25  20 