1. Chương 3: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC 3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER 3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER 3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & F 3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ 3.5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU 1
  2. 3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER TÍN HIỆU RỜI RẠC 3.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI FOURIER:  j  jn • Biến đổi Fourirer của dãy x(n): X ( e )   x ( n   n )e Trong đó:  - tần số của tín hiệu rời rạc j j j arg X ( e j ) /X(ej)/ - phổ biên độ X( e )  X( e )e argX(ej) - phổ pha • Ký hiệu: F x(n)   X(ej) hay X(ej) = FT{x(n)} F 1 X(ej)   x(n) hay x(n) = FT-1{X(ej)} 2
  3. • Nhận thấy X(ej) tuần hoàn với chu kỳ 2, thật vậy:   j (   2 )  j (  2 ) n  jn j X (e )  x ( n )e n     x ( n ) e  X ( e ) n          X e j e  jl d     n   x( n )e j n ejld    j  l  n    x( n )  e d n   Áp dụng kết quả: Biến đổi Fourier ngược:   j ( l  n ) 2 : l  n 1  e d   x( n )   X ( e j )e j n d   0 : l  n 2  3
  4. Ví dụ 3.1.1: Tìm biến đổi F của các dãy: x1 ( n)  a nu ( n) : a  1 x2 (n)  a nu(n 1) : a  1   1 j X 1 (e )  n  a u ( n )e  jn   ae   j n   n   n 0 1  ae  j   X 2 (e j )    a nu ( n  1)e  jn    a 1e j  n n   n  1     a e  1  j m   a e  1 j m  1 m 1 m0 1 1  1 1 j  1 a e 1  ae  j 4
  5. 3.1.2 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI BIẾN ĐỔI FOURIER    jω  jn  jn X (e )   x ( n)e n     x ( n) e   x ( n) n   n    Vậy, để X() hội tụ thì điều kiện cần là:  x ( n)   n   Các tín hiệu thỏa điều kiện hội tụ là tín hiệu năng lượng, thậy vậy:   2 x(n)    x(n)  2 Ex   n   n      2 Nếu:  n   x ( n)   Ex   x ( n)  n   5
  6. Ví dụ 3.1.2: Xét sự tồn tại biến đổi F của các dãy: x1 (n)  0.5n u(n); x2 (n)  2n u(n); x3 (n)  u(n); x4 (n)  rectN (n)    n 1 n  n   x1 (n)   (0.5) u (n)   (0.5)  n   n 0 1  0.5 2    n n  n   x2 (n)   2 u n   ( n )    2 n 0 X2(ej) không tồn tại     x3 (n)   u ( n )   u ( n)   X3(ej) không tồn tại n   n   n 0   N 1  x (n)   rect n   4 n   N (n)   rect N (n)  N n 0 6
  7. 3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER 3.2.1 Tuyến tính Nếu: F x1 (n)  X1 (e j ) F x2 (n)  X 2 (e j ) Thì: F a1 x1 ( n)  a 2 x2 ( n)  a1 X 1 (e j )  a2 X 2 (e j ) 3.2.2 Dịch theo thời gian Nếu: F x(n)  X (e j ) Thì: F x(n  n0 )  e-jn0 X (e j ) 7
  8. Ví dụ 3.2.1: Tìm biến đổi F của dãy (n) và (n-2)  F j  j n x( n)   ( n)  X (e )    ( n   n )e 1 Áp dụng tính chất dịch theo thời gian: F  ( n  2)  x ( n  2)  e  j 2  X ( e j )  e  j 2  3.2.3 Liên hiệp phức Nếu: F x(n)  X (e j ) Thì: F x * (n)  X * (e  j ) 8
  9. 3.2.4 Đảo biến số Nếu: F x ( n)  X ( e j ) Thì: F x ( n)  X ( e  j ) Ví dụ 3.2.2: Tìm biến đổi F của dãy y(n)=2nu(-n) Theo ví dụ 3.1.1, có kết quả: n 1 F j 1 x ( n)    u( n)  X ( e )   j 2   1  (1 / 2 )e n F  j 1 y( n )  x( n )  2 u( n )  X (e ) 1  (1 / 2)e j 9
  10. 3.2.5 Vi phân trong miền tần số Nếu: F x ( n)  X ( e j ) j F dX(e ) Thì: n x( n)  j d Ví dụ 3.2.3: Tìm biến đổi F của g(n)=nanu(n); /a/
  11. 3.2.6 Dịch theo tần số Nếu: F x ( n)  X ( e j ) Thì: e j 0 n x ( n)  F X [ e j (  - 0 ) ] Ví dụ 3.2.4: Tìm biến đổi F của y(n)=ancos(0n)u(n); /a/
  12. 1 F  Y ( e j )  2   X [e j (  0 ) ]  X [e j (  0 ) ] j1 1 1  Y (e )    j (   0 )   2  (1  ae ) (1  ae  j (  0 ) )  3.2.7 Tích 2 dãy F Nếu: x1 ( n )  X 1 ( e j ) F x 2 ( n )  X 2 ( e j ) 1 F  j ' j (   ') Thì: x1 ( n) x 2 ( n)  X  1 ( e ) X 2 [ e ]d ' 2 1    X 2 (e j ' ) X 1[e j (  ') ]d ' 2  12
  13. 3.2.8 Tổng chập 2 dãy F Nếu: x1 ( n )  X 1 ( e j ) x 2 ( n )  F X 2 ( e j ) F j j x Thì: 1 ( n ) * x 2 ( n )  X 1 ( e ) X 2 ( e ) Ví dụ 3.2.5: Tìm y(n)=x(n)*h(n) biết x(n)=h(n)=(n+2)+(n-2) Theo ví dụ 3.2.1, có kết quả: X ( e j )  H ( e j )  e j 2   e  j 2  Y (e j )  X (e j )H (e j )  (e j 2  e j 2 )2  e j 4  2  e j 4 y ( n )  x ( n ) * h ( n )  F 1[Y ( )] y ( n )   ( n  4 )  2 ( n )   ( n  4) 13
  14. 3.2.9 Quan hệ Parseval Nếu: F x1 ( n )  X 1 ( e j ) F x 2 ( n )  X 2 ( e j )  1  Thì:  * x1 ( n) x ( n)  2  X 1 (e j ) X 2* (e j )d (*) n   2  Biểu thức (*) còn gọi là quan hệ Parseval Nhận xét: Nếu: x1 ( n )  x 2 ( n )  x ( n ) Theo quan hệ Parseval, ta có:  1 2  j 2  x( n)  2  X ( e ) d n   j j 2 Với: S xx (e )  X (e ) - gọi là phổ mật độ năng lượng 14
  15. 3.2.10 Tương quan các tín hiệu Nếu: F x1 ( n )  X 1 ( e j ) F x 2 ( n )  X 2 ( e j ) Thì: FT  rx1 x2   Rx1 x2 ( e j )  X1( e j )X 2 ( e  j ) Nhận xét: Nếu: x1 ( n )  x 2 ( n )  x ( n ) 2 j j  j j Rxx ( e )  X( e )X ( e )  X( e )  S xx ( e j )  Vậy biến đổi Fourier của hàm tự tương quan sẽ bằng phổ mật độ năng lượng, quan hệ này còn được gọi là định lý Weiner-Khintchine 15
  16. TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER x(n) X() a1x1(n)+a2x2(n) a1X1(ej)+a2X2(ej) x(n-n0) e-jn0 X(ej) ej0n x(n) Xej (- 0) nx(n) jdX(ej)/d x(-n) X(e-j) x*(n) X*(e-j)  1 x1(n)x2(n) 2   X 1( e j '  )X 2 e j(   ' )  d'  1   x1( n )x*2 ( n )  X1( e j )X *2 ( e j )d  n  2 16
  17. TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER x(n) X()  2 1  2  x( n )  X( e j ) d n  2  rx1x2 ( n )   x1( m )x2 ( m  n ) X1( e j )X 2 ( e  j ) m  2 rx1x2 ( n ) Rxx ( e j )  X( e j )  S xx ( e j ) 17
  18. 3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER & Z  Z x( n )   X( z )   x( n )z  n n  X ( e j )  X ( z ) z e j  F j x( n )  X ( e )  x( n )e  j n Im(z) n  ROC X(z) Hay biến đổi Fourier chính là /z/=1 biến đổi Z được lấy trên vòng /z/=1 tròn đơn vị theo biến số  Re(z)  • Nếu ROC[X(z)] có chứa /z/=1 X(ej)=X(z) với z=ej • Nếu ROC[X(z)] không chứa /z/=1 X(ej) không hội tụ 18
  19. Ví dụ 3.3.1: Tìm biến đổi ZT & FT của các dãy: x1(n)=(0.5)nu(n) x2(n)=2nu(n) 1 X1( z)  1 ; z  0.5 1  0.5 z Do ROC[X1(z)] có chứa /z/=1, nên: j 1 X 1 (e )  X 1 ( z ) z e  j  1  0.5e  j 1 X 2 ( z)  1 ;z 2 1  2z Do ROC[X2(z)] không chứa /z/=1, nên X2(ej) không tồn tại 19
  20. 3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ 3.4.1 Định nghĩa đáp ứng tần số Miền n: x(n) h(n) y(n)=x(n)*h(n) F Miền : X(ej) H(ej) Y(ej)=X(ej)H(ej) h(n) F H(ej)=Y(ej)/X(ej): gọi là đáp ứng tần số Nếu H(ej) biểu diễn dạng môdun và pha: H ( e j ) - Đáp ứng biên độ H( e j )  H( e j ) e j (  )  (  ) - Đáp ứng pha 20