1. Chương 2: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN PHỨC Z 2.1 BIẾN ĐỔI Z 2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z 2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 2.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN Z 1
  2. 2.1 BIẾN ĐỔI Z 2.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI Z:  n • Biến đổi Z của dãy x(n): X (z)   x ( n ) z (*) n   Trong đó Z – biến số phức Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía  Biến đổi Z 1 phía dãy x(n): X ( z )   x ( n ) z  n (**) n0 • Nếu x(n) nhân quả thì : (*)  (**) • Ký hiệu: Z x(n)  X(z) hay X(z) = Z{x(n)} X(z) Z 1 hay x(n) = Z-1{X(z)}  x(n) 2
  3. 2.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC) • Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence) là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao cho X(z) hội tụ. Im(Z)Rx+ Rx- • Để tìm ROC của X(z) ta áp dụng Re(z) tiêu chuẩn Cauchy 00 • Tiêu chuẩn Cauchy:  Một chuỗi có dạng:  x(n)  x(0)  x(1)  x(2)   n0 1 hội tụ nếu: lim x(n)  1 n n  3
  4. Ví dụ 2.1.1: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=anu(n)     n X( z )   x( n )z n   a u( n )z n n n   a .z n     az 1 n   n   n0 n 0 Theo tiêu chuẩn Cauchy, Im(z) X(z) sẽ hội tụ: ROC 1 X( z )  /a/ Re(z) 1  az 1 0 n 1n Nếu: lim  az 1   1 z  a n    1 Vậy: X( z )  1 ; ROC : Z  a 1  az 4
  5. Ví dụ 2.1.2: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=-anu(-n-1)   1 X( z )   x( n ) z n    a u( n  1 )z n n  a n n  .z n   n   n    m  m      a 1 z    a 1 z   1 Im(z) m 1 m 0 Theo tiêu chuẩn Cauchy, /a/ Re(z) X(z) sẽ hội tụ: 0 n ROC  1 X ( z )    a z   1  1 1 m 0 1  az 1n  1 n  Nếu: lim  a z  1  z  a n    5
  6. 2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z 2.2.1 Tuyến tính Z x1 (n)  X1 ( z) : ROC  R1 • Nếu: Z x2 (n)  X 2 ( z) : ROC  R 2 Z • Thì: a1 x1 (n)  a2 x2 (n)  a1 X 1 ( z )  a2 X 2 ( z ) ROC chứa R1 R2 Ví dụ 2.2.1: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=anu(n) - bnu(-n-1) với /a/
  7. Im(z) Theo ví dụ 2.1.1 và 2.1.2, ta có: ROC /a/ Re(z) n Z 1 R1 : z  a a u (n)  0 1  az 1 Im(z) n Z 1  b u ( n  1)  R2 : z  b /b/ 1  bz 1 0 Re(z) ROC Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được: Im(z) Z 1 1 a nu( n )  b n u(  n  1 )   ROC /b/ 1  az 1 1  bz 1 Re(z) 0 R  R1  R2 : a  z  b /a/ 7
  8. 2.2.2 Dịch theo thời gian Z Nếu: x( n )  X( z ) : ROC  R Z Thì: x( n  n0 )  z  n X ( z ) : ROC  R' 0  R trừ giá trị z=0, khi n0>0 Với: R'    R trừ giá trị z=∞, khi n0
  9. 2.2.3 Nhân với hàm mũ an Z Nếu: x( n)  X ( z ) : ROC  R Z Thì: a n x(n)  X ( a 1 z ) : ROC  a R Ví dụ 2.2.3: Xét biến đổi Z & ROC của x1(n)=u(n) và x2(n)=anu(n)  Z 1 1 x( n )  u( n )  X ( z )   u( n )z  ;R : z 1 1 n   1 z n n Z 1 1 a x( n )  a u( n )  X ( az )  1 ; R' : z  a 1  az 9
  10. 2.2.4 Đạo hàm X(z) theo z Z Nếu: x(n)  X ( z ) : ROC  R Z dX(z) Thì: n x( n)   z : ROC  R dz Ví dụ 2.2.4: Tìm biến đổi Z & ROC của g(n)=nanu(n) n Z 1 x(n)  a u (n)  X ( z )  1 ; ROC : z  a 1  az 1 Z dX ( z ) az g( n )  nx( n ) G( z )  z  1 2 :z  a dz (1  az ) 10
  11. 2.2.5 Đảo biến số Z Nếu: x(n)  X ( z ) : ROC  R Z -1 Thì: x( n)  X (z ) : ROC  1 R Ví dụ 2.2.4: Tìm biến đổi Z & ROC của y(n)=(1/a)nu(-n) n Z 1 x( n)  a u ( n)  X ( z )  1 ; ROC : z  a 1  az n  y ( n)  1 a  u ( n)  a  nu ( n)  x( n) Áp dụng tính chất đảo biến số: 1 1 1 Y(z)  X (z )   ; ROC : z  1 / a   1 a z 1 1 1  az 11
  12. 2.2.6 Liên hiệp phức Z Nếu: x ( n )  X ( z ) : ROC  R Z Thì: x * ( n)  X * (z*) : ROC  R 2.2.7 Tích 2 dãy Z x1 (n)  X 1 ( z ) : ROC  R 1 Nếu: Z x2 (n)  X 2 ( z ) : ROC  R 2 Z 1  z  1 Thì: x1 (n) x2 (n)   X 1 ( ) X 1   d : ROC  R 1  R 2 2 c   2.2.8 Định lý giá trị đầu Nếu x(n) nhân quả thì: x(0)  Lim X(z) Z  12
  13. Ví dụ 2.2.6: Tìm x(0), biết X(z)=e1/z và x(n) nhân quả Theo định lý giá trị đầu: x(0)  lim X(z)  lim e1/z  1 Z  Z  2.2.9 Tổng chập 2 dãy Z x1 ( n)  X 1 ( z ) : ROC  R 1 Nếu: Z x2 ( n)  X 2 ( z ) : ROC  R 2 Z Thì: x1 (n) * x2 (n)  X 1 ( z ) X 2 ( z ) :ROC có chứa R1  R2 13
  14. Ví dụ 2.2.7: Tìm y(n) = x(n)*h(n), biết x(n)=(0.5)nu(n) và h(n)=-2nu(-n-1) n Z 1 x( n )  ( 0.5 ) u( n )  X ( z )  1 ; ROC : z  0.5 1  0.5 z n Z 1 h( n )  2 u(  n  1 )  H ( z )  1 ; ROC : z  2 1 2z 1 1 Y ( z )  X ( z )H ( z )  1 . 1 ; ROC : 0,5  z  2 ( 1  0.5 z ) ( 1  2 z ) 1 1 4 1 Z-1  . 1  . 1 ; ROC : 0,5  z  2 3 ( 1  0.5 z ) 3 ( 1  2 z ) 1 n 4 n y (n)  x( n) * h(n)   (0.5) u (n)  2 u (n  1) 3 3 14
  15. TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z x(n) X(z) R a1x1(n)+a2x2(n) a1X1(z)+a2X2(z) Chứa R1  R2 x(n-n0) Z-n0 X(z) R’ an x(n) X(a-1z) R nx(n) -z dX(z)/dz R x(-n) X(z -1) 1/R x*(n) X*(z*) R 1  z  1 x1(n)x2(n) 2j C X 1 ( v ) X 2  v dv R1  R2 v x(n) nhân quả x(0)=lim X(z ->∞) x1(n)*x2(n) X1(z)X2(z) Chứa R1  R215
  16. BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG x(n) X(z) ROC (n) 1 z u(n) 1 /z/ >1 1 -u(-n-1) 1 z /z/ /a/ -an u(-n-1) 1  az 1 /z/ < /a/ nan u(n) az 1 /z/ > /a/ -nan u(-n-1) (1  az 1 ) 2 /z/ < /a/ cos(on)u(n) (1-z-1coso)/(1-2z-1coso+z-2) /z/ >1 sin(on)u(n) (z-1sino)/(1-2z-1coso+z-2) /z/ >116
  17. 2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 2.3.1 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 1 n 1 x( n )   X ( z )z dz (*) 2j C Với C - đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo chiều (+) ngược chiều kim đồng hồ  Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất phức tạp của phép lấy tích phân vòng • Các phương pháp biến đổi Z ngược:  Thặng dư  Khai triển thành chuỗi luỹ thừa  Phân tích thành tổng các phân thức tối giản 17
  18. 2.3.2 PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ a) Khái niệm thặng dư của 1 hàm tại điểm cực: • Thặng dư tại điểm cực Zci bội r của F(z) được định nghĩa: 1 d ( r 1) Re sF ( z )Z  Z ci  (r  1)! dz ( r 1)  F ( z )( z  z ci ) r  Z  Z ci • Thặng dư tại điểm cực đơn Zci của F(z) được định nghĩa: Re sF ( z )Z  Z ci  F ( z )( z  zci )Z  Z ci b) Phương pháp: • Theo lý thuyết thặng dư, biểu thức biến đổi Z ngược theo tích phân vòng (*) được xác định bằng tổng các thặng dư tại tất cả các điểm cực của hàm X(z)zn-1 : 18
  19. 1 x (n)   2j C X ( z ) z n 1 dz   Res X( z ) z n 1  Z  Z ci (*) i Trong đó: • Zci – các điểm cực của X(z)zn-1 nằm trong đường cong C • Res[X(z)zn-1]z=zci - thặng dư của X(z)zn-1 tại điểm cực zci  Tổng cộng các thặng dư tại tất cả các điểm cực, ta được x(n) z Ví dụ 2.3.1: Tìm biến đổi Z ngược của X ( z )  ( z  2) Thay X(z) vào (*), ta được 1 n 1 1 z n 1  n  x ( n)  X ( z ) z dz   z dz z 2j C  ( z  2 )  Res 2j C ( z  2 )   19
  20.  Chọn C là đường cong khép kín nằm bên ngoài vòng tròn có bán kính là 2 n n 1 z • n0: X ( z ) z  có 1 điểm cực đơn Zc1=2 ( z  2) Im(z) Thặng dư tại Zc1=2: ROC 2 Re(z) n n  z   z  n 0 Res     ( z  2)   2  ( z  2 )  Z 2  ( z  2 )  Z 2 C n 1 1 1 Zc1=2 đơn, • n